Тридцатидневный срок на рассмотрение письменного обращения гражданина установлен Федеральным законом от 2 мая 2006 г. N 59-ФЗ "О порядке рассмотрения обращений граждан Российской Федерации". Названный Федеральный закон распространяется на обращения граждан в государственные или муниципальные органы, в учреждения или организации, на которые возложено осуществление публично значимых функций. В рассматриваемом же случае отношения между гражданином и организацией являются не публично значимыми, а трудовыми и, соответственно, регулируются нормами трудового законодательства. Таким образом, Федеральный закон N 59-ФЗ не применим в указанном случае. Такую точку зрения поддерживают специалисты Роструда: "Отношение между работником и работодателем регулирует Трудовой кодекс РФ, а не Закон о порядке рассмотрения обращений граждан" [см. ответ на "Вопрос: В какой срок работодатель обязан дать ответ на заявление работника, в котором тот просит предоставить ему копии документов, содержащих его персональные данные? И приравнивается ли такое заявление к обращению граждан? Работодатель отвечает, что ответ будет дан в течение 30 дней в соответствие с законодательством о рассмотрении обращения граждан. Законно ли это, ведь работник и работодатель состоят в трудовых отношениях?" (информационный портал Роструда "Онлайнинспекция.РФ", ноябрь 2016 г.)].

Что касается статьи 62 ТК РФ, то речь в ней идет об обязанности работодателя в трехдневный срок (три рабочих дня) выдать работнику трудовую книжку и другие документы (или их копии), связанные с работой. Таким образом, эта статья также не регулирует отношения, возникающие в изложенной в вопросе ситуации. Более того, не только статья 62 ТК РФ, но и другие нормы трудового законодательства не устанавливают срок ответа на заявление работника в указанном случае. 

Существует точка зрения, что такой пробел может быть устранен нормами гражданского законодательства: "При отсутствии специального регулирования нормы гражданского законодательства могут использоваться для упорядочения отношений, составляющих предмет смежных частноправовых отраслей (семейного, трудового права). Их применение в названном случае возможно лишь в субсидиарном порядке, для устранения пробелов" [Иванчак А.И. Гражданское право Российской Федерации: Общая часть (2-е изд., перераб. и доп.). - "Статут", 2018 г.)]. 

Статьей 314 ГК РФ установлено, что если обязательство не предусматривает срок его исполнения, то оно должно быть исполнено в течение семи дней (календарных) со дня предъявления требования, если другой срок исполнения не вытекает из обычаев либо существа обязательства. Ранее действовавшая редакция этой нормы предусматривала, что обязательство должно быть исполнено в разумный срок после его возникновения, если же оно не исполнено в разумный срок, то оно подлежало исполнению в семидневный срок со дня предъявления требования о его исполнении. В судебной практике семидневный срок иногда называют разумным сроком (см. постановление Арбитражного суда Северо-Западного округа от 11 февраля 2015 г. N Ф07-698/14 по делу N А56-2000/2014, постановление Арбитражного суда Московского округа от 20 февраля 2018 г. N Ф05-20302/17 по делу N А40-8382/2017). 

Специалисты Роструда и судебные органы также ссылаются на необходимость соблюдения разумного срока, часто не называя его конкретную продолжительность:

"Трудовым законодательством не установлены сроки ответа на заявления... Полагаем, что если иное не установлено локальным нормативным актом работодателя, то ответ должен быть дан в разумные сроки. Ответ в три рабочих дня соответствует разумному сроку" ["Вопрос: Работница была уволена, работала по срочному договору. Она подала заявление о продлении срока договора в связи с беременностью. В заявлении работница указала время для ответа о восстановлении на и продление договора - 3 дня. Какой срок установлен для ответа работодателем работнику?" (информационный портал Роструда "Онлайнинспекция.РФ", февраль 2017 г.)];

"Нормами действующего законодательства не установлен определенный срок, до истечения которого работодатель обязан Вам ответить на письменное обращение. По нашему мнению работодатель обязан ответить Вам в разумный срок" ["Вопрос: Я отправила по почте работодателю заявление с просьбой предоставить ответ в письменном виде по моему заявлению, написанному ранее. В течение какого времени работодатель должен дать ответ?" (информационный портал Роструда "Онлайнинспекция.РФ", декабрь 2017 г.)];

"Трудовым кодексом РФ не установлены сроки дачи ответа работодателя на заявления работника. Согласно... закона от 2 мая 2006 года N 59-ФЗ... письменное обращение, поступившее... должностному лицу... рассматривается в течение 30 дней... лицо, исполняющее функции работодателя к числу таких должностных лиц не относится. Учитывая большой объем поставленных истцом в заявлении вопросов, срок дачи ответа до 11 мая 2018 года не может быть признан судом явно неразумным, при этом суд считает необходимым указать, что вручение и направление изготовленного ответа на заявление работника в течение более 2 недель не свидетельствует о соблюдении разумных сроков..." [Решение Свердловского районного суда г. Белгорода Белгородской области от 26 июня 2018 г. по делу N 2-2024/2018];

"Суд не учел, что ч. 3 ст. 37 Конституции РФ, ст. 22 ТК РФ не устанавливают какого-либо срока для предоставления ответа на заявление работников... Суд... правильно счел, что ответчиком ОАО... нарушены разумные сроки для дачи ответа Ефимкину B.C." [Апелляционное определение СК по гражданским делам Кемеровского областного суда от 30 марта 2012 г. по делу N 33-2924].

Представляется, что в рассматриваемом случае (с учетом небольшой сложности заданного работником вопроса) разумный срок для ответа составляет несколько рабочих дней.